微积分学: 常用极限及其证明

Ⅰ

$\lim_{x \to 0} \frac {e^x - 1}x = 1$

定义域为 $x \in (-\infin, 0) \cup (0, +\infin)$.

由高中知识得 $e^x - x - 1 \geq 0$, 当且仅当 $x = 0$ 时取等. 所以 $x > 0$ 时 $\frac {e^x - 1}x > 1$, $x < 0$ 时, $\frac {e^x - 1}x \in (0, 1)$.

因为研究 $x \to 0$, 所以不妨令 $x \in (-1, 0) \cup (0, 1)$, 因此 $1 - x > 0$:

$e^{-x} + x - 1 > 0\\ e^{-x} > 1 - x\\ e^x < \frac 1{1 - x}\\ e^x - 1 < \frac x{1 - x}\\$

• 当 $x > 0$ 时

$\frac{e^x - 1}x < \frac 1{1 - x}$.

刚才已证 $\frac{e^x - 1}x > 1$, 又显然 $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac 1{1 - x} = 1}$, 因此由夹挤准则, 有 $\displaystyle{\lim_{x \to 0_{+}} \frac {e^x - 1}x = 1}$.

• 当 $x < 0$ 时

$\frac{e^x - 1}x > \frac 1{1 - x}$.

刚才已证 $\frac{e^x - 1}x < 1$, 又显然 $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac 1{1 - x} = 1}$, 因此由夹挤准则, 有 $\displaystyle{\lim_{x \to 0_{-}} \frac {e^x - 1}x = 1}$.

综上, $\displaystyle{\lim_{x \to 0} \frac {e^x - 1}x = 1}$.

Ⅱ

$\lim_{x\to \infin}(1 + \frac 1x)^x = e$

因为负数的分数次幂是无定义的, 所以该函数的定义域为 $(-\infin, -1)\cup(0, \infin)$.

$(1 + \frac 1x)^x = e^{x\ln(1 + \frac 1x)}$

要证 $(1 + \frac 1x)^x$ 在 $x \to \infin$ 的极限为 $e$, 只需证 $f(x) = x\ln(1 + \frac 1x)$ 在 $x \to \infin$ 的极限为 $1$.

粗暴证明

令 $t = 1 + \frac 1x$, 因此即证 $\frac{\ln t}{t - 1}$ 在 $t \to 1$ 时的极限为 $1$. 由洛必达法则:

$\lim_{t \to 1}\frac{\ln t}{t - 1} = \frac {\displaystyle{\lim_{t \to 1}(\ln' t)}}{\displaystyle{\lim_{t \to 1}(t')}} = \frac 11= 1$

因此:

$\lim_{x \to \infin} x\ln(1 + \frac 1x) = \lim_{t \to 1}\frac{\ln t}{t - 1} = 1\\ \lim_{x\to \infin}(1 + \frac 1x)^x = e^{\displaystyle{\lim_{x \to \infin} x\ln(1 + \frac 1x)}} = e$

证毕, 接下来不用洛必达法则进行证明.

严谨证明

由 Ⅰ 得, $\displaystyle{\lim_{t \to 0} \frac {e^t - 1}t = 1}$, 同理 $\displaystyle{\lim_{t \to 0} \frac t{e^t - 1} = 1}$.

令 $t = \ln(1 + \frac 1x)$, 因为 $\displaystyle{\lim_{x \to \infin} t = 0}$, 所以:

$\lim_{x \to \infin} x\ln(1 + \frac 1x) = \lim_{t \to 0}\frac t{e^t - 1} = 1$

所以 $\displaystyle{\lim_{x \to \infin}(1 + \frac 1x)^x = e}$.

证毕, 下证该函数其它性质.

单调性证明

$f(x) = x(\ln(1 + x) - \ln x)\\ f'(x) = \ln(1 + x) - \ln x + \frac x{1 + x} - 1\\ f'(x) = \frac x{1 + x} - \ln(\frac x{1 + x}) - 1$

因为 $x \in (-\infin, -1)\cup(0, \infin)$, 所以 $\frac x{1 + x} > 0$ 且 $\frac x{1 + x} \neq 1$, 结合高中知识, $t > 0$ 时, $t - \ln t - 1 \geq 0$, 当且仅当 $t = 1$ 时取等.

因此 $f'(x) > 0$, $f(x)$ 的单增区间为 $(-\infin, -1), (0, \infin)$.

极限存在且收敛

定理: 单调有界的函数收敛

已经证明了单调, 接下来只要证明函数有界, 则可以说明极限存在且收敛.

令 $t = 1 + \frac 1x$, 且 $t \neq 1, t > 0$, 因此 $t - \ln (t) - 1 > 0$, 即:

$\frac 1x - \ln (1 + \frac 1x) \geq 0\\ \frac 1x > \ln (1 + \frac 1x)\\$

• $x > 0$ 的情况

因为 $1 + \frac 1x > 1$, 所以 $f(x) > 0$, 存在下界 $0$. 又因为 $x > 0$, 因此将刚才的不等式两边同时乘 $x$:

$\frac 1x > \ln (1 + \frac 1x)\\ 1 > x\ln (1 + \frac 1x)$

因此存在上界 $1$.

• $x < -1$ 的情况

因为 $(-\infin, -1)$ 是 $f(x)$ 的单增区间, 因此只要有下界, 则 $f(x)$ 在 $x \to -\infin$ 时就收敛.

刚才的不等式两边同时乘 $x$:

$\frac 1x > \ln (1 + \frac 1x)\\ 1 < x\ln (1 + \frac 1x)$

存在下界.

所以我们认为 $f(x)$ 在 $x \to +\infin$ 和 $x \to -\infin$ 时都收敛.