线性代数1 向量和向量空间

Created at 2022-01-20 22:16:21
Updated at 2023-10-29 22:50

更新简述

大学在数学的角度重新学习线性代数, 并且竞赛方面也需要复习相关算法, 所以对之前的文字进行整理, 并且将 Wikipedia 上的英文条目进行理解和翻译, 方便读者更好理解相关知识.

向量 (Vector)

向量是指那些不能被一个单一的数表达的量. 相对地, 我们称可以被单一的数表达的量为标量 (Scalar). 向量一开始用来表达有方向和大小的物理量, 后来也用来表达长度固定且有限的数列, 我们也称后者为元组 (tuple).

向量都具有相加和数乘运算, 并且运算结果都是同一个向量空间内的向量.

向量空间 (Vector Space)

也叫线性空间, 对于一个域 $F$ (如整数域, 实数域, 虚数域), $F$ 的向量空间 $V$ 满足条件:

$\forall u \in V$, $u + u \in V$

$\forall u \in V, a \in F$, $au \in V$.

且向量加法, 数乘, 标量加法, 乘法都满足四则运算中加法和乘法的的基本法则 (交换律, 结合律, 分配律). 对于同一个 $F$, $V$ 可能不唯一. 特别地, $F$ 本身也是 $F$ 的一个向量空间.

因此向量也可以定义为向量空间的元素.

对于向量空间 $V$, 它的子空间是 $V$ 的子集, 也满足向量空间的性质.

对于一个向量空间 $V$ 的子集 $G$, 我们称 $G$ 的生成空间为 $V$ 的最小的包含 $G$ 中所有元素的子空间.

线性独立 (Linear Independent)

对于一个向量空间的子集 $G$, 若 $\forall u \in G$, 不能通过 $G$ 中其它向量通过加法和数乘得到, 则称 $G$ 线性独立.

基 (Basis)

对于向量空间 $V$, 如果它的子集 $G$ 线性独立, 并且 $G$ 的线性生成空间是 $V$, 那么我们说 $G$ 是 $V$ 的一个基.

一个向量空间的基可能不唯一, 但是基的元素数量是相等的, 我们称这个数量为向量空间的维数.

之后我们会深入解析向量空间的基.

向量的坐标表示

设 $n$ 维的向量空间 $V$, 假设它的一个基 $G = \{b_0, b_1, ..., b_{n -1}\}$. 根据定义我们可以表示 $\forall u \in V$, $\exist {a_0, a_1, ..., a_{n - 1}}$, 使得 $u = \sum_{i = 0}^{n - 1} a_ib_i$.

则我们称这里 $a_0, a_1, ..., a_{n - 1}$ 为 $u$ 在基为 $G$ 时的坐标.

坐标空间 (Coordinate Space)

是线性空间的一种, 域 $F$ 的坐标空间的元素是元组, 元组的每一个元素都属于 $F$. 如果元组是 $n$ 元组, 那么我们可以记这个坐标空间为 $F^n$.

线性映射 (Linear Map)

是一种函数, 定义域是一个向量空间, 值域是另一个向量空间. 对于域 $F$ 的向量空间 $V$, $W$, 线性映射 $f: V \to W$, 有如下规则:

$\forall v, w \in V, \forall a \in F\\ f(v + w) = f(v) + f(w)\\ f(av) = af(v)\\$

根据前面我们对基的介绍, 只要我们定义了一个向量空间基的映射规则, 那么整个向量就可以被映射了.